まずApple ID の設定ができている状態で、iCloud へのサインインができているか確認します。
「iPhone設定→iPhoneにサインイン」

「らくらじ＞ライブラリ」を開きます。iCloudへコピーしたい録音データをタップすると「再生／iCloudへコピー／ファイルを削除する」と「キャンセル」の選択ダイアログが表示されます。
「iCloudへコピー」をタップすることでiCloudへファイルをコピーします。

ここで「らくらじ」が落ちるまたはホームへ戻ってしまう場合は、「らくらじ」をインストールしたiOSデバイスからiCloudへ接続が出来る状態かを確認してください。またiPhone本体を再起動することで問題が解決する可能性もあります。

次に「iCloud」をタップ→iCloudを使用しているAPP一覧内の「iCloud Drive」と「らくらじ」をオンの状態に変更してください。

iCloudに接続できる状態でコピーができない場合は、iCloud内の容量が足りている状態かご確認ください。
※容量の確認「設定→[自分の名前]→iCloud」を開くとiCloud ストレージの消費容量が一番上に表示されます。